تقول Anthropic إن ذكاءها الاصطناعي Claude كتب للتو أطول إثبات رياضي تم إعداده على الإطلاق، واستخدمه لإثبات مبرهنة فيرما الأخيرة رسميًا، وهي مشكلة حيرت علماء الرياضيات لمدة 358 عامًا.

أنجز كلود المهمة في 11 يومًا، وبشكل مستقل إلى حد كبير، منتجًا 13 مليون سطر من التعليمات البرمجية يمكن للكمبيوتر التحقق منها سطرًا بسطر، بدلاً من مجرد الأخذ بكلمة عالم رياضيات.

تنص مبرهنة فيرما الأخيرة على أنه لا يمكنك أخذ ثلاثة أعداد صحيحة موجبة، ورفع كل منها إلى أس أكبر من 2، بحيث يكون مجموع العددين الأولين يساوي العدد الثالث. وقد كتب هذا الادعاء في هامش كتاب رياضيات عام 1637، مضيفًا أن لديه "إثباتًا رائعًا حقًا" لكن الهامش كان ضيقًا جدًا لاحتوائه.

ثم توفي. أمضى علماء الرياضيات الـ 358 عامًا التالية في محاولة إعادة بناء ما كان يعتقد أنه يملكه.

إثبات شيء ما والتحقق منه مهمتان مختلفتان

الإثبات الرياضي هو سلسلة من الخطوات المنطقية، وإذا انكسرت حلقة واحدة، ينهار كل شيء. وقد يستغرق العثور على تلك الحلقة المكسورة، المدفونة في مكان ما ضمن مئات الصفحات من الحجج الكثيفة، سنوات من حياة علماء الرياضيات الآخرين.

إضفاء الطابع الرسمي على الإثبات يعني ترجمته إلى لغة حرفية بشكل مؤلم بحيث يمكن للكمبيوتر التحقق من كل خطوة بمفرده دون الدخول في ذاتية.

كان علماء الرياضيات سيئين في مراقبة هذا الأمر لفترة من الوقت. جائزة ألمانية عام 1908 بقيمة تتراوح تقريبًا بين مليون ومليوني دولار بأموال اليوم، والتي قُدمت لأول إثبات صالح للمبرهنة، اجتذبت 621 إدخالًا خاطئًا في عامها الأول فقط.

لم يظهر الإثبات الحقيقي إلا في عام 1995، على يد عالم الرياضيات البريطاني أندرو وايلز، وجاء معه تطور غير متوقع. أعلن وايلز عن حله عبر ثلاث محاضرات في يونيو 1993، فقط ليجد مراجع ثغرة فيه لاحقًا.

قضى ما يقرب من عام في إصلاحه مع طالب سابق، ريتشارد تايلور، وكاد أن يستسلم، وأخيرًا نشر إثباتًا مصححًا من 129 صفحة في مايو 1995. وقد اعتمد على رياضيات لم تكن موجودة في حياة فيرما، وهو سبب كبير يجعل علماء الرياضيات يشككون الآن في أن "إثبات فيرما الرائع" قد نجح بالفعل.

أطلق عالم الرياضيات كيفن بازارد من إمبريال كوليدج لندن مشروعًا في عام 2024 للقيام بما فعله كلود للتو: ترجمة إثبات وايلز إلى Lean، وهي لغة يمكن للكمبيوتر التحقق منها. إنها وظيفة تتطلب جيشًا من علماء الرياضيات المتطوعين—مخطط المشروع الخاص يمتد على 86 صفحة، وتم تأمين تمويله حتى عام 2029.

أنهى كلود الأمر برمته في 11 يومًا.

كيف نجح كلود في تحقيق ذلك بالفعل

توضح Anthropic في منشور أكثر تفصيلاً أن تياني بنغ، الذي يبني أدوات مأسسة الذكاء الاصطناعي مع فريق في كولومبيا، قرر معرفة إلى أي مدى يمكن لكلود أن يتقدم بمفرده. عمل عشرات من وكلاء كلود بالتوازي، وكتبوا تعريفات، وأثبتوا نتائج صغيرة، وجمعوها في نتائج أكبر، مع عدم وجود أي تدخل بشري تقريبًا يتجاوز التوجيه العرضي مثل "إعطاء الأولوية لهذه المبرهنة تاليًا".

لم يسر الأمر بسلاسة في البداية. في وقت مبكر، كان الوكلاء يفقدون تتبع ما أثبتوه بالفعل وتوقفوا عن التعاون، ولا تزال تلك البدايات الخاطئة تشكل حوالي 7% من أسطر الإثبات النهائي.

ما أصلح الأمر هو أداة تسمى Prove2Me، والتي بناها فريق بنغ أيضًا، والتي أعطت كل وكيل نفس قائمة المهام الحية للإثباتات الأصغر التي لا تزال بحاجة إلى الإنجاز، بحيث لا يكرر أحد العمل أو ينحرف. كما نظمت الملفات بحيث يمكن لـ Lean التحقق من كل شيء بشكل أسرع، واحتفظت بملاحظات باللغة الإنجليزية العادية حول كل نتيجة حتى يتمكن الوكلاء من إعادة استخدام عمل بعضهم البعض بدلاً من إعادة اختراعه.

بحلول الوقت الذي اكتمل فيه الأمر، كان كلود قد أثبت أكثر من 30,000 مبرهنة داعمة واستهلك مليارات الرموز (tokens)، يعمل على نموذج بحثي تقول Anthropic إنه يضاهي تقريبًا Claude Fable 5.1، وهي النسخة التي أطلقتها لاحقًا للعامة. الإثبات المكتمل يمتد على 13 مليون سطر—أكثر بخمس مرات من حجم Mathlib، المكتبة المشتركة التي يستخدمها علماء الرياضيات بالفعل لهذا النوع من العمل.

تتألف الرواية النموذجية من 80,000 كلمة. إثبات كلود يعادل 160 رواية من الحجج المنطقية البحتة.

فهل هذا يهم حقًا؟

راجع بازارد—الذي لا يزال تمويل نسخته الخاصة من هذا المشروع مستمرًا حتى عام 2029—إثبات كلود ومنحه موافقته، قائلاً إنه يثبت المبرهنة "دون أي افتراضات بخلاف بديهيات الرياضيات".

هذا ليس مثل اكتشاف كلود لرياضيات جديدة تمامًا، وهو ما ادعته Anthropic أيضًا في أبحاثها المتعلقة بالتشفير في وقت سابق من هذا العام. لقد أثبت وايلز مبرهنة فيرما قبل ثلاثة عقود—كلود فقط بنى إيصالًا يمكن للآلة التحقق منه. وهذا مهم لأن علماء الرياضيات يغرقون بشكل متزايد بالإثباتات غير الموثقة، بما في ذلك تلك التي يكتبها الذكاء الاصطناعي، بوتيرة أسرع مما يستطيع البشر التحقق منها يدويًا.

كما أن هذه الأنواع من الإثباتات حتمية ولا تعرضها للأخطاء البشرية، وهو أمر بالغ الأهمية في الرياضيات.

ليست هذه مشكلة جديدة. فقد استغرق إثبات مبرهنة كيبلر بمساعدة الكمبيوتر أربع سنوات قبل أن تلتزم لجنة المراجعة بـ"99% يقين"، واستغرق إثبات غريغوري بيرلمان لمبرهنة بوانكاريه وقتًا مماثلاً حتى يتم استيعابه بالكامل.

إذا كنت لا ترغب في الأخذ بكلمة Anthropic في أي من هذا، فليس عليك ذلك. الإثبات الكامل المكون من 13 مليون سطر متاح على GitHub الآن، مجانًا لأي عالم رياضيات لديه ما يكفي من الوقت الحر ليتفحصه سطرًا بسطر.