एन्थ्रोपिक का कहना है कि उसके क्लॉड एआई ने अभी-अभी अब तक का सबसे लंबा गणितीय प्रमाण लिखा है, और इसका उपयोग फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को औपचारिक रूप से सिद्ध करने के लिए किया है, एक ऐसी समस्या जिसने 358 वर्षों तक गणितज्ञों को उलझाए रखा था।
क्लॉड ने इसे 11 दिनों में, काफी हद तक अपने आप किया, जिसमें 13 मिलियन लाइन का कोड तैयार किया गया जिसे एक कंप्यूटर लाइन-बाय-लाइन जांच सकता है, बजाय इसके कि किसी गणितज्ञ के कहने पर भरोसा किया जाए।
फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय कहता है कि आप तीन धनात्मक पूर्ण संख्याएँ नहीं ले सकते, प्रत्येक को 2 से अधिक घात तक नहीं बढ़ा सकते, और पहली दो को तीसरी के बराबर नहीं जोड़ सकते। उन्होंने 1637 में एक गणित की किताब के हाशिये पर यह दावा लिखा था, यह कहते हुए कि उनके पास एक "वास्तव में अद्भुत प्रमाण" था जो हाशिया में फिट होने के लिए बहुत छोटा था।
फिर उनकी मृत्यु हो गई। गणितज्ञों ने अगले 358 वर्षों तक यह समझने की कोशिश की कि उनके पास क्या था।
कुछ सिद्ध करना और उसे जांचना दो अलग-अलग काम हैं
एक गणितीय प्रमाण तार्किक चरणों की एक श्रृंखला है, और यदि एक कड़ी टूट जाती है, तो पूरी चीज़ ढह जाती है। सैकड़ों पन्नों के सघन तर्क में कहीं दबी हुई उस एक टूटी हुई कड़ी को खोजने में अन्य गणितज्ञों को अपने जीवन के कई साल लग सकते हैं।
एक प्रमाण को औपचारिक बनाना का अर्थ है उसे इतनी शाब्दिक भाषा में अनुवाद करना कि एक कंप्यूटर बिना किसी व्यक्तिपरकता के हर कदम को अपने आप सत्यापित कर सके।
गणितज्ञों ने कुछ समय से इस पर नज़र रखने में ढिलाई बरती है। प्रमेय के पहले वैध प्रमाण के लिए 1908 में दिया गया एक जर्मन पुरस्कार, जिसकी आज की कीमत लगभग $1 मिलियन से $2 मिलियन है, ने अपने पहले वर्ष में ही 621 गलत प्रविष्टियाँ आकर्षित कीं।
Checking that a major mathematical proof is correct can take years. Formalization—converting the mathematical reasoning into a form computer proof assistants like Lean can verify—can help.
Last month, Claude completed the first formalized proof of Fermat’s Last Theorem, one of… pic.twitter.com/pdT8zwlV4A
— Anthropic (@AnthropicAI) September 4, 2026
वास्तविक प्रमाण 1995 तक ब्रिटिश गणितज्ञ एंड्रयू विल्स द्वारा सामने नहीं आया, और इसमें एक नाटकीय मोड़ था। विल्स ने जून 1993 में तीन व्याख्यानों में अपने समाधान की घोषणा की, लेकिन बाद में एक समीक्षक ने उसमें एक कमी पाई।
उन्होंने एक पूर्व छात्र, रिचर्ड टेलर के साथ इसे ठीक करने में लगभग एक साल बिताया, लगभग हार मान ली, और अंत में मई 1995 में एक सही किया गया, 129-पृष्ठ का प्रमाण प्रकाशित किया। यह ऐसे गणित पर आधारित था जो फ़र्मेट के जीवनकाल में मौजूद नहीं था, यही एक बड़ा कारण है कि गणितज्ञ अब फ़र्मेट के अपने "अद्भुत प्रमाण" के वास्तव में काम करने पर संदेह करते हैं।
इंपीरियल कॉलेज लंदन के गणितज्ञ केविन बज़ार्ड ने 2024 में ठीक वही काम करने के लिए एक परियोजना शुरू की जो क्लॉड ने अभी किया है: विल्स के प्रमाण को लीन (Lean) में अनुवाद करना, एक ऐसी भाषा जिसे कंप्यूटर जांच सकते हैं। यह ऐसा काम है जिसमें स्वयंसेवी गणितज्ञों की एक फौज की ज़रूरत होती है—परियोजना की अपनी रूपरेखा 86 पृष्ठों की है, और इसकी फंडिंग 2029 तक सुनिश्चित है।
क्लॉड ने यह सब 11 दिनों में पूरा कर लिया।
क्लॉड ने वास्तव में इसे कैसे पूरा किया
एन्थ्रोपिक ने एक और विस्तृत पोस्ट में बताया कि तियानी पेंग, जो कोलंबिया में एक टीम के साथ एआई औपचारिकीकरण उपकरण बनाते हैं, ने यह देखने का फैसला किया कि क्लॉड अपने आप कितनी दूर तक जा सकता है। दर्जनों क्लॉड एजेंट समानांतर में काम कर रहे थे, परिभाषाएँ लिख रहे थे, छोटे परिणाम सिद्ध कर रहे थे, और उन्हें बड़े परिणामों में बदल रहे थे, जिसमें "अगले इस प्रमेय को प्राथमिकता दें" जैसे आकस्मिक संकेत के अलावा लगभग कोई मानवीय इनपुट नहीं था।
शुरुआत में यह आसानी से नहीं हुआ। शुरू में, एजेंटों ने जो कुछ पहले ही सिद्ध कर लिया था, उसे खोते रहे और सहयोग करना बंद कर दिया, और वे गलत शुरुआतें अभी भी अंतिम प्रमाण में लगभग 7% लाइनें बनाती हैं।
जिस चीज़ ने इसे ठीक किया वह प्रूव2मी (Prove2Me) नामक एक उपकरण था, जिसे पेंग की टीम ने भी बनाया था, जिसने हर एजेंट को छोटे-छोटे प्रमाणों की एक ही लाइव टू-डू सूची दी थी जिन्हें अभी भी करने की आवश्यकता थी, ताकि कोई भी काम दोहराए या भटक न जाए। इसने फाइलों को भी व्यवस्थित किया ताकि लीन (Lean) सब कुछ तेज़ी से जांच सके, और प्रत्येक परिणाम पर सादे-अंग्रेजी नोट्स रखे ताकि एजेंट एक-दूसरे के काम को फिर से बनाने के बजाय उसका पुन: उपयोग कर सकें।
जब यह काम पूरा हुआ, तब तक क्लॉड ने 30,000 से अधिक सहायक प्रमेय सिद्ध कर लिए थे और अरबों टोकन का उपयोग किया था, जो एक शोध मॉडल पर चल रहा था जिसे एन्थ्रोपिक का कहना है कि यह क्लॉड फ़ेबल 5.1 के लगभग बराबर है, वह संस्करण जिसे उसने बाद में सार्वजनिक किया। तैयार प्रमाण 13 मिलियन लाइनों का है—जो मैथलिब (Mathlib), साझा लाइब्रेरी जिसका गणितज्ञ पहले से इस तरह के काम के लिए उपयोग करते हैं, के आकार का पाँच गुना से अधिक है।
एक सामान्य उपन्यास 80,000 शब्दों का होता है। क्लॉड का प्रमाण शुद्ध तार्किक तर्क के 160 उपन्यासों के बराबर है।
तो क्या यह वास्तव में मायने रखता है?
बज़ार्ड—जिनके इस प्रोजेक्ट का अपना संस्करण 2029 तक वित्त पोषित है—ने क्लॉड के प्रमाण की समीक्षा की और उसे अपनी स्वीकृति दी, यह कहते हुए कि यह प्रमेय को "गणित के सिद्धांतों के अलावा किसी अन्य धारणा के बिना" सिद्ध करता है।
यह क्लॉड द्वारा बिल्कुल नए गणित की खोज करने जैसा नहीं है, जिसका एन्थ्रोपिक ने इस साल की शुरुआत में अपने क्रिप्टोग्राफी अनुसंधान के साथ भी दावा किया था। विल्स ने तीन दशक पहले ही फ़र्मेट का प्रमेय सिद्ध कर दिया था—क्लॉड ने बस इसके लिए एक मशीन-जांच योग्य रसीद बनाई है। यह मायने रखता है क्योंकि गणितज्ञ तेजी से बिना सत्यापित प्रमाणों से घिरे हुए हैं, जिनमें एआई द्वारा लिखित भी शामिल हैं, जितनी तेजी से इंसान उन्हें हाथ से जांच नहीं सकते।
साथ ही, इस प्रकार के प्रमाण नियतात्मक होते हैं और मानवीय त्रुटियों के प्रति प्रवृत्त नहीं होते, जो गणित में बहुत महत्वपूर्ण है।
यह कोई नई समस्या नहीं है। केपलर अनुमान का एक कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण चार साल लग गए जब एक समीक्षा पैनल केवल "99% निश्चित" होने के लिए प्रतिबद्ध था, और पोंकारे अनुमान का ग्रिगोरी पेरेलमैन का प्रमाण पूरी तरह से समझने में लगभग उतना ही समय लगा।
यदि आप इनमें से किसी भी बात के लिए एन्थ्रोपिक के शब्दों पर विश्वास नहीं करना चाहते हैं, तो आपको इसकी आवश्यकता नहीं है। पूरा 13 मिलियन-लाइन का प्रमाण अभी गिटहब पर उपलब्ध है, किसी भी गणितज्ञ के लिए मुफ्त है जिसके पास पर्याप्त खाली समय हो इसे लाइन-बाय-लाइन जांचने के लिए।
