Anthropic affirme que son IA Claude vient de rédiger la plus longue preuve mathématique jamais réalisée, et l'a utilisée pour prouver formellement le dernier théorème de Fermat, un problème qui a dérouté les mathématiciens pendant 358 ans.

Claude l'a fait en 11 jours, principalement de manière autonome, produisant 13 millions de lignes de code qu'un ordinateur peut vérifier ligne par ligne, au lieu de simplement prendre la parole d'un mathématicien.

Le dernier théorème de Fermat stipule que l'on ne peut pas prendre trois nombres entiers positifs, élever chacun d'eux à une puissance supérieure à 2, et que les deux premiers s'additionnent pour donner le troisième. Il a griffonné cette affirmation dans la marge d'un livre de mathématiques en 1637, ajoutant qu'il avait une "preuve vraiment merveilleuse" que la marge était trop petite pour la contenir.

Puis il est mort. Les mathématiciens ont passé les 358 années suivantes à essayer de reconstituer ce qu'il pensait avoir.

Prouver quelque chose et le vérifier sont deux tâches différentes

Une preuve mathématique est une chaîne d'étapes logiques, et si un maillon est brisé, l'ensemble s'effondre. Trouver ce maillon brisé, enfoui quelque part dans une centaine de pages d'arguments denses, peut prendre des années de la vie d'autres mathématiciens.

Formaliser une preuve signifie la traduire dans un langage si douloureusement littéral qu'un ordinateur peut vérifier chaque étape par lui-même sans entrer dans des subjectivités.

Les mathématiciens ont eu du mal à contrôler cela pendant un certain temps. Un prix allemand de 1908, d'une valeur d'environ 1 à 2 millions de dollars actuels, offert pour la première preuve valide du théorème, a attiré 621 soumissions erronées au cours de sa première année seulement.

La vraie preuve n'est apparue qu'en 1995, grâce au mathématicien britannique Andrew Wiles, et elle est venue avec un rebondissement. Wiles a annoncé sa solution lors de trois conférences en juin 1993, mais un relecteur y a ensuite trouvé une faille.

Il a passé près d'un an à la corriger avec un ancien étudiant, Richard Taylor, a failli abandonner, et a finalement publié une preuve corrigée de 129 pages en mai 1995. Elle s'appuyait sur des mathématiques qui n'existaient pas du vivant de Fermat, ce qui est une grande raison pour laquelle les mathématiciens doutent maintenant que la propre "preuve merveilleuse" de Fermat ait jamais fonctionné.

Le mathématicien Kevin Buzzard de l'Imperial College de Londres a lancé un projet en 2024 pour faire exactement ce que Claude vient de faire : traduire la preuve de Wiles en Lean, un langage que les ordinateurs peuvent vérifier. C'est le genre de travail qui nécessite une armée de mathématiciens bénévoles – le plan du projet fait 86 pages, et son financement est garanti jusqu'en 2029.

Claude a terminé le tout en 11 jours.

Comment Claude a réussi cet exploit

Anthropic explique dans un billet plus détaillé que Tianyi Peng, qui développe des outils de formalisation d'IA avec une équipe à Columbia, a décidé de voir jusqu'où Claude pouvait aller seul. Des dizaines d'agents Claude ont travaillé en parallèle, écrivant des définitions, prouvant de petits résultats, et les empilant pour en créer de plus grands, avec presque aucune intervention humaine au-delà d'une suggestion occasionnelle comme "prioriser ce théorème ensuite".

Cela ne s'est pas déroulé sans accroc au début. Au début, les agents perdaient constamment la trace de ce qu'ils avaient déjà prouvé et cessaient de collaborer, et ces faux départs représentent encore environ 7 % des lignes de la preuve finale.

Ce qui a réglé le problème, c'est un outil appelé Prove2Me, également construit par l'équipe de Peng, qui donnait à chaque agent la même liste de tâches en direct des preuves plus petites qui restaient à faire, afin que personne ne duplique le travail ou ne s'écarte du chemin. Il organisait également les fichiers pour que Lean puisse tout vérifier plus rapidement, et conservait des notes en anglais simple sur chaque résultat afin que les agents puissent réutiliser le travail des autres au lieu de le réinventer.

Au final, Claude avait prouvé plus de 30 000 théorèmes auxiliaires et consommé des milliards de tokens, fonctionnant sur un modèle de recherche qu'Anthropic décrit comme globalement comparable à Claude Fable 5.1, la version qu'il a ensuite rendue publique. La preuve achevée compte 13 millions de lignes – plus de cinq fois la taille de Mathlib, la bibliothèque partagée que les mathématiciens utilisent déjà pour ce type de travail.

Un roman typique compte 80 000 mots. La preuve de Claude équivaut à 160 romans d'argumentation logique pure.

Alors, est-ce vraiment important ?

Buzzard – dont la propre version de ce projet reste financée jusqu'en 2029 – a examiné la preuve de Claude et lui a donné sa bénédiction, affirmant qu'elle prouve le théorème "sans aucune hypothèse autre que les axiomes des mathématiques".

Ce n'est pas la même chose que Claude découvrant de nouvelles mathématiques, ce qu'Anthropic a également revendiqué avec ses recherches en cryptographie plus tôt cette année. Wiles a déjà prouvé le théorème de Fermat il y a trois décennies – Claude a juste construit une "quittance" vérifiable par machine pour cela. Cela compte car les mathématiciens sont de plus en plus submergés par des preuves non vérifiées, y compris celles écrites par l'IA, plus rapidement que les humains ne peuvent les vérifier à la main.

De plus, ces types de preuves sont déterministes et non sujettes aux erreurs humaines, ce qui est très important en mathématiques.

Ce n'est pas un problème nouveau. Une preuve assistée par ordinateur de la conjecture de Kepler a pris quatre ans avant qu'un comité d'examen ne s'engage qu'à "99 % de certitude", et la preuve de Grigori Perelman de la conjecture de Poincaré a pris à peu près autant de temps à être entièrement assimilée.

Si vous ne voulez pas croire Anthropic sur parole pour tout cela, vous n'êtes pas obligé. La preuve complète de 13 millions de lignes est disponible sur GitHub dès maintenant, gratuitement pour tout mathématicien ayant suffisamment de temps libre pour la décortiquer, ligne par ligne.