Anthropic заявляє, що її ШІ Claude щойно написав найдовше математичне доведення за всю історію та використав його, щоб формально довести Велику теорему Ферма — проблему, яка спантеличувала математиків протягом 358 років.

Claude зробив це за 11 днів, здебільшого самостійно, створивши 13 мільйонів рядків коду, які комп'ютер може перевірити рядок за рядком, замість того, щоб просто вірити математику на слово.

Остання теорема Ферма стверджує, що неможливо взяти три додатні цілі числа, піднести кожне з них до степеня, вищого за 2, і щоб сума перших двох дорівнювала третьому. Він записав цю заяву на полях математичної книги в 1637 році, додавши, що у нього є "справді дивовижне доведення", але поля занадто малі, щоб його вмістити.

Потім він помер. Математики провели наступні 358 років, намагаючись відтворити те, що, на його думку, він мав.

Довести щось і перевірити – це дві різні роботи

Математичне доведення – це ланцюжок логічних кроків, і якщо одне посилання розривається, вся конструкція руйнується. Знайти це одне розірване посилання, поховане десь на сотні сторінок щільних аргументів, може зайняти у інших математиків роки їхнього життя.

Формалізація доведення означає його переклад на настільки болісно буквальну мову, що комп'ютер може самостійно перевірити кожен крок, не вдаючись до суб'єктивності.

Математики довгий час погано стежили за цим. Німецька премія 1908 року вартістю приблизно від 1 до 2 мільйонів доларів у сьогоднішніх грошах, запропонована за перше дійсне доведення теореми, лише за перший рік привернула 621 неправильне подання.

Справжнє доведення з'явилося лише в 1995 році від британського математика Ендрю Вайлса, і воно супроводжувалося сюжетним поворотом. Вайлс оголосив своє рішення у трьох лекціях у червні 1993 року, але пізніше рецензент знайшов у ньому прогалину.

Він провів майже рік, виправляючи її разом з колишнім студентом Річардом Тейлором, ледь не здався, і нарешті опублікував виправлене, 129-сторінкове доведення у травні 1995 року. Воно спиралося на математику, яка не існувала за життя Ферма, що є вагомою причиною того, чому математики зараз сумніваються, що власне "чудове доведення" Ферма коли-небудь справді працювало.

Математик Імперського коледжу Лондона Кевін Баззард у 2024 році розпочав проєкт, щоб зробити саме те, що щойно зробив Claude: перекласти доведення Вайлса на Lean, мову, яку можуть перевірити комп'ютери. Це та робота, яка потребує армії математиків-добровольців — власний план проєкту займає 86 сторінок, а його фінансування закріплено до 2029 року.

Claude закінчив все це за 11 днів.

Як Claude це насправді зробив

Anthropic пояснює у більш детальному дописі, що Тяньі Пен, який створює інструменти формалізації ШІ з командою в Колумбійському університеті, вирішив перевірити, наскільки далеко Claude зможе зайти самостійно. Десятки агентів Claude працювали паралельно, пишучи визначення, доводячи невеликі результати та накопичуючи їх у більші, майже без втручання людини, окрім випадкових підказок на кшталт "пріоритезуй цю теорему наступною".

Спочатку все йшло не так гладко. На початку агенти постійно втрачали слід того, що вони вже довели, і переставали співпрацювати, і ці невдалі спроби все ще становлять близько 7% рядків у остаточному доведенні.

Вирішити проблему допоміг інструмент під назвою Prove2Me, також розроблений командою Пена, який надавав кожному агенту єдиний актуальний список завдань щодо того, які менші доведення ще потрібно виконати, щоб ніхто не дублював роботу та не відволікався. Він також організовував файли, щоб Lean міг перевіряти все швидше, і зберігав нотатки простою англійською мовою до кожного результату, щоб агенти могли повторно використовувати роботу один одного замість того, щоб винаходити її заново.

До того часу, як робота була завершена, Claude довів понад 30 000 допоміжних теорем і витратив мільярди токенів, працюючи на дослідницькій моделі, яку Anthropic називає приблизно порівнянною з Claude Fable 5.1, версією, яку вона пізніше випустила для загального доступу. Готове доведення займає 13 мільйонів рядків — це більш ніж уп'ятеро перевищує розмір Mathlib, спільної бібліотеки, яку математики вже використовують для такого роду роботи.

Типовий роман налічує 80 000 слів. Доведення Claude еквівалентне 160 романам чистого логічного аргументу.

Отже, чи має це значення?

Баззард — чия власна версія цього проєкту залишається фінансованою до 2029 року — переглянув доведення Claude і схвалив його, заявивши, що воно доводить теорему "без будь-яких припущень, окрім аксіом математики".

Це не те саме, що відкриття Claude абсолютно нової математики, на що Anthropic також претендувала зі своїми дослідженнями в галузі криптографії раніше цього року. Вайлс вже довів теорему Ферма три десятиліття тому — Claude просто створив для цього машиноперевірений "чек". Це важливо, оскільки математики все частіше переповнені неперевіреними доведеннями, включаючи написані ШІ, швидше, ніж люди можуть перевірити їх вручну.

Крім того, ці типи доведень є детермінованими та не схильні до людських помилок, що дуже важливо в математиці.

Це не нова проблема. Комп'ютерно-допоміжне доведення гіпотези Кеплера зайняло чотири роки, перш ніж експертна комісія змогла лише підтвердити "99% впевненості", а доведення гіпотези Пуанкаре Григорієм Перельманом зайняло приблизно стільки ж часу, щоб повністю засвоїтися.

Якщо ви не хочете вірити Anthropic на слово щодо всього цього, вам не обов'язково. Повне 13-мільйонне доведення зараз знаходиться на GitHub, доступне для будь-якого математика, у якого є достатньо вільного часу, щоб розібрати його рядок за рядком.